Primos, amigos y felices
Por: Íñigo Sarría
Todos tenemos claro cómo se definen los números naturales, los enteros, los racionales, los irracionales, los reales, e incluso a niveles de Bachillerato, se trabajan ya los números imaginarios. Es más, puede que recordemos qué son los números primos y algunas propiedades de estos, o la criba de Eratóstenes para la búsqueda de números primos.
Pero no solo de primos están llenos los números, diremos que dos números enteros positivos son amigos si la suma de los divisores propios (divisores del número salvo él mismo) de uno es igual al otro número y viceversa. La primera pareja de números amigos que encontramos son el 220 y el 284. Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284 y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220. Parece una relación ¡perfecta! ¿Quién ha dicho perfecta? A los números enteros positivos que son iguales a la suma de sus divisores propios positivos, les llamamos números perfectos, es decir, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Por ejemplo, el número 28 es perfecto, ya que sus divisores 1, 2, 4, 7 y 14 suman 28.
A los términos de una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior, les llamaremos números sociables, por ejemplo {12.496 → 14.288 → 15.472 → 14.536 → 14.264}. Cabe también hablar de los números deficientes y abundantes, relacionados con el concepto de número perfecto. Un número cuya suma de divisores propios es menor a él se denomina deficiente, por ejemplo, el número 10 pues 1+2+5=8 y por el contrario, un número como el 12 cuya suma de divisores propios es mayor a él, 1+2+3+4+6=16 se denomina abundante.
También podemos hablar de estados de los números, donde nos encontramos con los números felices, que, empezando con cualquier número entero positivo, si reemplazamos el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos y repetimos la operación hasta que el número es igual a 1 son conocidos como números felices. Aquellos que no, son conocidos como números tristes. Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz. Ejemplos de números felices son el 28 o el 761.
22+82=68
62+82=100
12+02+02=1
Pero los números también pueden ser narcisistas, cuando un número de n dígitos es igual a la suma de las potencias n-ésimas de sus dígitos, como el 371:
33 + 73 + 13 = 371
O poderosos, si cumple la propiedad de que si un primo p es un divisor suyo entonces p al cuadrado también lo es. Por ejemplo, el número 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y se cumple que 4 y 9 también son divisores de 36.
Serán números vampiros si el producto de una combinación de la mitad de sus cifras por una combinación de la otra mitad da como resultado el propio número. A los factores se les llama colmillos.
1260=21·60
Cambiando de base, conocemos a los números malvados, si contiene un número par de unos, por ejemplo, el 15=11112 o números odiosos, si contiene un número impar de unos, como el 11=10112.
Estas son algunas curiosidades de los números, y hablando de curiosidades, llamaremos números curiosos a los naturales que cumplen que, al elevarlo al cuadrado, tienen al propio número como última cifra. Por ejemplo, 25 y 36 son números curiosos.