ChatGPT y la Medalla Fields
Por Íñigo Sarría Martínez De Mendivil
El Nobel de las Matemáticas, la Medalla Fields o por su nombre completo, la Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas, es el máximo galardón al que un matemático joven puede aspirar. Este galardón se instituyó como alternativa al Premio Nobel que no existe para la rama de las matemáticas. Diversas leyendas apuntan a que Nobel consideró las matemáticas como herramienta más que como disciplina importante para la vida práctica, o bien que estaba enemistado con el matemático sueco Mittag-Leffler, e incluso otra leyenda más de la prensa rosa, que éste mantenía relaciones con la pareja de Nobel, pues nunca estuvo casado.
Vamos a aprovechar la Inteligencia Artificial de ChatGPT, para intentar buscar un contraejemplo del Teorema Fundamental del Álgebra, descubrimiento que sin duda nos lanzaría hacia la Medalla Fields, si no fuese porque ésta sólo se concede a menores de 40 años. El Teorema Fundamental del Álgebra enuncia que:
Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja)
Es decir, dado un polinomio de grado n, tiene exactamente n raíces contando sus multiplicidades. Para este experimento vamos a utilizar en polinomio sencillo de grado tres con dos raíces reales diferentes, a saber p(x)=x^3 -3X^2+4, cuyas raíces son x=-1 con multiplicidad 1 y x=2 de multiplicidad doble, y preguntemos a ChatGPT por las raíces del mismo. Su respuesta comienza con una introducción teórica que es de agradecer:
La raíz de un polinomio es un valor de x para el cual el polinomio evaluado en ese valor es igual a cero. Por lo tanto, para encontrar las raíces del polinomio p(x), debemos resolver la ecuación p(x)=0
Podemos intentar resolver la ecuación de manera analítica, pero en este caso eso puede ser bastante complicado. Una manera más sencilla de encontrar las raíces es usar un método numérico, como el método de bisección o el método de Newton-Raphson. Estos métodos te permiten aproximar las raíces de una manera rápida y precisa, aunque no te darán las raíces exactas.
La Inteligencia no está desencaminada, y aunque en este caso la resolución analítica es sencilla, puede complicarse dependiendo del polinomio usado, así que nos recomienda utilizar el Método de Newton-Raphson, uno de los métodos numéricos más conocidos y poderosos para la resolución del problema de búsqueda de raíces de f(x)=0 . El método exige que la función f sea continuamente diferenciable dos veces en el intervalo [a,b] e implica el generar la sucesión {p_n} definida por:
Geométricamente, el método de Newton es equivalente a sustituir un arco pequeño de la curva y=f(x) por una tangente trazada por un punto de la curva. Un algoritmo para implementar el método es el siguiente:
Algoritmo de Newton-Raphson.
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Para encontrar una solución de f(x) = 0 dada una aproximación inicial p_0:
Entrada: aproximación inicial p_0; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N_0;
Salida: solución aproximada p o mensaje de fracaso.
Paso 1: tomar i = 1;
Paso 2: mientras que i ≤N_0 seguir pasos 3–6;
Paso 3: tomar p=p_0 (calcular );
Paso 4: si |p− p_0| < TOL entonces SALIDA (p);
(procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR;
Paso 5: tomar i = i+1
Paso 6: tomar 
(redefinir p_0);
Paso 7: SALIDA (El método fracasó después de N0 iteraciones, N_0 = , N_0 );
(procedimiento completado sin éxito); PARAR.
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Si le pedimos a ChatGPT que calcule las raíces de p(x) mediante el método de Newton-Raphson nos devuelve los siguiente:
Comprobamos que calcula mal la derivada, por lo que a partir de aquí como es lógico, el método no funcionará correctamente. Pero nos arroja una solución para las raíces.
¡Genial! Ya tenemos una raíz de nuestro polinomio ejemplo, e intentamos corroborar que estamos en lo cierto y la respuesta que obtenemos nos deja un poco contrariados.
Sí, puedes decir que x=0 es una raíz del polinomio p(x)=4-3x^2+x^3.
Recuerda que la raíz de un polinomio es un valor de x para el cual el polinomio evaluado en ese valor es igual a cero. Por lo tanto, si sustituyes x=0 en el polinomio p(x), deberías obtener un resultado de cero:
p(0) = 4 – 3*0^2 + 0^3 = 4 – 0 + 0 = 4
Por lo tanto, x=0 no es una raíz del polinomio p(x).
Es posible que haya algún error en mi explicación o en la forma en que he aplicado el método de Newton-Raphson.
Para ayudar a ChatGPT le hacemos ver que el error está en el cálculo de la derivada.
Lo siento, parece que he cometido un error al calcular la derivada de p(x). La derivada de p(x) es -6x+3x^2, que no se hace cero en ningún valor de x.
Al advertir el error en los cálculos, se los pedimos de nuevo cometiendo otro error más, por lo que le damos la primera iteración del Método de Newton-Raphson, y solicitamos continuar las iteraciones, resultando que es raíz del polinomio. Otro resultado erróneo, así que desistimos del método y le pedimos que factorice el polinomio.
Entonces, el polinomio p(x) puede factorizarse como:
p(x)=(x-r)(x^2-x+4)
Esta factorización nos indica que las raíces del polinomio p(x) son x=r y x=1±2i.
Repreguntamos si x=1+2i es raíz del polinomio con respuesta afirmativa y le pedimos que calcule p(1+2i) para que vea que es distinto de cero:
Lo siento por el error. Estás correcto, el hecho de que p(1+2i) sea distinto de cero implica que x=1+2i no es una raíz del polinomio p(x)=4-3x^2+x^3.
Una raíz de un polinomio es un valor de x que hace que el polinomio tenga valor cero. En este caso, si x=1+2i fuera una raíz del polinomio, entonces p(1+2i)=0.
Y le ofrecemos una pista, x=-1 es raíz del polinomio, ¿Tiene más raíces? Hasta en 3 ocasiones nos indica que x= 1+2i es solución, por lo que le damos la raíz correcta x=2.
El nivel de frustración aumenta, por lo que decidimos abordar el Teorema Fundamental del Álgebra.
El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, tanto reales como complejas. Así, si un polinomio de grado n tiene k raíces reales, entonces debe tener n-k raíces complejas.
En el caso del polinomio p(x)=4-3x^2+x^3, hemos encontrado que tiene dos raíces reales, x=-1 y x=2. Como p(x) es un polinomio de grado 3, entonces debe tener una raíz compleja adicional. Esta raíz compleja es x=1±2i.
Al hacerle notar que son dos soluciones en vez de una la respuesta sí que nos deja anonadados:
Lo siento por el error. Tienes razón, las raíces complejas x=1+2i y x=1-2i son dos raíces distintas del polinomio p(x)=4-3x^2+x^3.
En total, el polinomio p(x) tiene cuatro raíces: dos reales (x=-1 y x=2) y dos complejas (x=1+2i y x=1-2i).
Si estamos en lo cierto, acabamos de encontrar un contraejemplo del Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio de grado 3 con 4 raíces. ¿Nos proponemos para la Medalla Fields?
Lo siento, pero el Teorema Fundamental del Álgebra sigue siendo válido en todos los casos. El teorema establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, tanto reales como complejas.
En el caso del polinomio p(x)=4-3x^2+x^3, hemos encontrado que tiene cuatro raíces: dos reales (x=-1 y x=2) y dos complejas (x=1+2i y x=1-2i). Sin embargo, esto no implica que el polinomio p(x) tenga grado 4. El grado de un polinomio es el mayor exponente de las variables en el polinomio, y en este caso el grado de p(x) sigue siendo 3.
Tras repreguntar en distintas ocasiones, sigue manteniendo que este polinomio de grado tres tiene cuatro raíces, por lo que desistimos de seguir explorando raíces polinómicas.
En resumen, siempre debemos ser críticos con las respuestas que nos brindan los motores matemáticos o las Inteligencias Artificiales y comprobar las soluciones propuestas.