El problema cuadrático de autovalores
El 10 de junio de 2000 se abrió el Millenium Bridge, un puente colgante peatonal sobre el río Támesis en Londres. Ese mismo día, el puente empezó a tambalearse mientras los ciudadanos andaban sobre él, provocando gran estupor… y su cierre dos días después. ¿Qué relación tiene esto con los problemas cuadráticos de autovalores? La respuesta requiere una pequeña introducción al mundo de las estructuras. Para cada estructura existe una frecuencia preferida para vibrar, a la cual llamamos frecuencia natural. Cuando una estructura es sometida a fuerzas externas cuyas frecuencias son cercanas a su frecuencia natural, las vibraciones son amplificadas y el sistema se vuelve inestable, llegando al fenómeno conocido como resonancia.
¿Qué ocurrió entonces el 10 de junio de 2000 en el Millenium Bridge? Pues que aparecieron unas fuerzas externas inducidas por el movimiento de los viandantes. Ese día hacía mucho viento en Londres, lo que provocó que los muchos peatones que quisieron transitar por el puente el día de su inauguración empezaran a caminar con la misma frecuencia, cercana a la frecuencia natural del puente. Eso hizo que el puente empezara a tambalearse, lo que llevó a que los paseantes ajustaran aún más su ritmo de andar al bamboleo del puente. Mientras más se sincronizaban en su andar los peatones, más aumentaban las vibraciones en el puente.
¿Y qué relación tiene este hecho con los problemas cuadráticos de autovalores? Pues bien, los modos y frecuencias naturales de una estructura son la solución de un problema cuadrático de autovalores (QEP). Demos la definición exacta de los problemas cuadráticos de autovalores. Un QEP consiste en encontrar escalares y vectores e tales que
(λ2M + λC +K)*X = 0 y Y*(λ2M + λC +K) = 0,
donde M, C y K son matrices complejas cuadradas. A λ se le denomina autovalor y a X y a Y autovectores a derecha y a izquierda del autovalor λ.
En el campo del Álgebra Lineal Numérica, esta categoría de problemas está incluida dentro de una categoría mayor llamada problemas de autovalores no lineales, la cual engloba también otros tipos de problemas. Pero, ¿por qué los investigadores del área dedicamos especial atención a los cuadráticos? Pues por su gran número de aplicaciones, superior a la de otros grados. Veamos algunos ejemplos en los que aparecen QEPs.
• Ecuaciones diferenciales de 2º orden con coeficientes matriciales, como las que aparecen en problemas de mecánica y oscilación eléctrica.
• Vibroacústica, como, por ejemplo, los problemas que buscan reducir el nivel de ruido en coches y aviones.
• Mecánica de fluidos, como, por ejemplo, cuando se estudia la estabilidad lineal de un flujo.
• Mínimos cuadrados con ligaduras.
• Procesamiento de señales.
Conociendo este gran número de aplicaciones, muchos investigadores en el área ponemos nuestros esfuerzos en desarrollar métodos iterativos específicos para este tipo de problemas. Aunque quizás se podría pensar que sería más efectivo desarrollar métodos generales para problemas de autovalores no lineales, estos métodos son demasiado generales y pensamos que podemos mejorarlos centrándonos sólo en el caso de los cuadráticos.
¿Y existen ya métodos numéricos para resolver los (QEP)? Sí, varios. Algunos de ellos “linealizan” el problema, es decir, lo transforman en un problema de autovalores lineales, y después usan técnicas propias de este tipo de problemas para resolverlo. Sin embargo, estos métodos no arrojan soluciones backward-estables cuando tratamos problemas densos, es decir, problemas en los que las matrices tienen pocas entradas nulas. Por otra parte, existen métodos numéricos que no linealizan, por lo que si producen soluciones backward-estables; sin embargo, estos métodos no son capaces de recuperar todas las soluciones del QEP. Por tanto, un objetivo de investigación en este campo es encontrar métodos numéricos para resolver QEP, que no usen linealizaciones y sean por tanto backward-estables, y que sean capaces de encontrar todas las soluciones.
Otra idea en la que se trabaja es en la de desarrollar métodos específicos cuando el QEP tiene cierta estructura (las matrices son simétricas, hermíticas, etc.). Durante los últimos años, se han desarrollado métodos numéricos para resolver QEPs con algunas de estas estructuras, pero aún se sigue intentando realizar métodos con mayor estabilidad.
El último objetivo que se persigue cuando se trabaja en los problemas cuadráticos de autovalores está relacionado con el software. Durante los últimos diez años, se han hecho numerosas contribuciones, pero aún existen ciertos métodos numéricos para los que no se ha desarrollado aún su correspondiente software.
El lector interesado en profundizar en este tipo de problemas puede empezar con la referencia inferior, que contiene un completo survey en el que se desarrollan ejemplos de este tipo de problemas.
- Tisseur, K. Meerbergen (2001), The Quadratic Eigenvalue Problem, SIAM Review, 43(2), 235-286.